Mengenal Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Adapun notasi himpunan dituliskan dengan huruf kapital seperti A, B, C, S, X, dan sebagainya. Anggota-anggota himpunan ditulis di antara kurung kurawal { } dan dipisahkan oleh koma (,)

Misalkan A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5. Dalam menyatakan suatu himpunan terdapat tiga cara:

1. Dengan menuliskan pernyataan terbuka
   A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5
   Dituliskan: A = {himpunan bilangan asli kurang dari 5}
2. Dengan menuliskan daftar anggota himpunan
   A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5
   Dituliskan: A = {1, 2, 3, 4}
3. Dengan menuliskan notasi pembentuk himpunan
   A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5
   Dituliskan: A = {x|x < 5, x ε bilangan asli}

Selain itu, sebuah himpunan juga dapat dinyatakan pada sebuah diagram, yaitu; Diagram Venn. Misalkan A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5. Dengan diagram Venn sebagai berikut:

Himpunan Kosong dan Semesta

Untuk memahami himpunan semesta dan himpunan kosong, seorang guru kembali memberikan instruksi kepada siswanya, masih menampilkan 10 bilangan asli; 1, 2, 3, …, 10. Adapun saat ini guru tersebut memberikan instruksi berupa:

1. Buatlah himpunan A adalah bilangan asli kurang dari 1
2. Buatlah himpunan B adalah bilangan prima kurang dari 2

Dalam konsep himpunan terdapat dua himpunan;

1. Himpunan Kosong
   Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong disimbolkan dengan Ø atau { }.
2. Himpunan Semesta
   Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek atau anggota yang sedang dibicarakan. Dengan kata lain Himpunan semesta adalah kesamaan dari semua anggota himpunan.

Dari uraian guru tersebut, akhirnya para siswa mulai membuat jawaban dari intruksi yang guru berikan;
himpunan A adalah bilangan asli kurang dari 1
A = { } atau ∅
Himpunan B adalah bilangan prima kurang dari 2
B = { } atau ∅

Dan untuk himpunan semesta dari himpunan kosong tersebut adalah S = {1, 2, 3, …, 10}

Rumus Himpunan Berdasarkan Sifat-Sifatnya

Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

Misalkan:
Himpunan A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 15
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
Dan banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = 6 anggota

Catatan Khusus:
● Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota yang terhitung hingga
Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}
n(A) = 6

● Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki banyak anggota yang terhitung tak hingga
Contoh: B = {x|x adalah bilangan asli}
Himpunan B jika dinyatakan dalam mendaftar anggota: B = {1, 2, 3, 4, …} Untuk banyak anggota B = tak hingga

● Kardinalitas himpunan berlaku hanya untuk himpunan hingga

Rumus Himpunan Bagian

Untuk memahami konsep himpunan bagian, mari kita simak beberapa himpunan dibawah ini:
Jika A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 11, B adalah himpunan bilangan asli kurang 10, dan C adalah himpunan bilangan genap positif kurang dari 10.

Apabila kesemua himpunan tersebut dinyatakan sebagai berikut;

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C = {2, 4, 6, 8 }

Tampak anggota himpunan A memuat anggota himpunan B dan himpunan C, begitu juga anggota himpunan B memuat anggota himpunan C.

Dengan kata lain himpunan C merupakan himpunan bagian B dan A serta B merupakan himpunan bagian A. Jika dinotasikan:

C⊂B
C⊂A
C⊂B⊂A
B⊂A

Suatu hubungan himpunan bagian disimbolkan oleh ⊂

Rumus Himpunan Kuasa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).
Misalkan:

A = {2, 3, 5}

Adapun himpunan-himpunan bagian dari A, sebagai berikut
● Himpunan bagian A yang memiliki 0 anggota

{ }

Terdapat banyaknya himpunan bagian A yang memiliki 0 anggota adalah 1
● Himpunan bagian A yang memiliki 1 anggota

{2}, {3}, {5}

Terdapat banyaknya himpunan bagian A yang memiliki 1 anggota adalah 3
● Himpunan bagian A yang memiliki 2 anggota

{2, 3}, {2, 5}, {3, 5}

Terdapat banyaknya himpunan bagian A yang memiliki 2 anggota adalah 3
● Himpunan bagian A yang memiliki 3 anggota

{2, 3, 5}

Terdapat banyaknya himpunan bagian A yang memiliki 3 anggota adalah 1

Cara lainnya untuk menentukan banyaknya himpunan kuasa dari suatu himpunan, dengan menggunakan segitiga Pascal:

Kesamaan Dua Himpunan

● Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B.
● Jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

Mari kita amati dan bandingkan antara dua himpunan di bawah ini;

Kesimpulan:

Untuk no 1 dan no 2 menyatakan A ⊂ B dan B ⊂ A, dinotasikan dengan A = B, sedangkan untuk no 3 menyatakan n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

Rumus Himpunan Pada Operasi Irisan, Gabungan, Selisih

Irisan

Irisan antara dua atau lebih himpunan adalah himpunan yang memuat semua anggota yang sama antara dua atau lebih himpunan tersebut. Irisan antara himpunan A dan B ditulis A∩B (Dibaca: irisan himpunan A dan B).

Terdapat beberapa jenis irisan, antara lain:
● Irisan saling terasing (Disjoint).
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan dalam diagram Venn

Dimana A ∩B = ∅ atau { }

● Irisan berpotongan
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana A ∩ B = {2} dan n(A∩B) = 1

● Irisan himpunan bagian
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 3}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana B ⊂ A = {2, 3}, A∩B = {2, 3} dan n(A∩B) = 2

● Irisan sama dengan
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 3, 5}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Gabungan

Contoh 1
Misalkan:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A = {1, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan dalam diagram Venn

Dimana A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} dan n(A∪B) = 5

Contoh 2
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana A ∪ B = {2, 3, 4, 5} dan n(A∪B) = 4

Contoh 3
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 3}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana B ⊂ A, A∪B = {2, 3, 5} dan n(A∪B) = 3

Selisih

Selisih antar himpunan adalah jumlah seluruh anggota A yang bukan anggota B. Selisih himpunan A dan B dapat dinotasikan atau ditulis A – B
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Komplemen

Komplemen himpunan adalah seluruh anggota dari himpunan semesta (S) yang bukan merupakan anggota dari himpunan A. Komplemen suatu himpunan dituliskan A^c (dibaca: komplemen himpunan A)

Misalkan:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}
B = {2, 4}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana

A^c = {0, 1, 4}
B^c = {0, 1, 3, 5}
(A∩B)^c = {0, 1, 3, 4, 5}
(A∪B)^c = {0, 1}

Selanjutnya berlaku Hukum De Morgan;

(A∩B)^c = A^c ∪ B^c

(A∪B)^c = A^c ∩ B^c

Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-sifat operasi himpunan, sebagai berikut:

1. Sifat Idempoten
Misalkan:

S = {1, 2, 3, 4, 5}
A = {2, 3, 5}

Sehingga jika digambarkan pada diagram Venn

Dimana berlaku sifat Idempoten:
A∩A = A∪A = A

2. Sifat Identitas
● A∩∅ = A
● A∪∅ = A
● A∩S = A
● A∪S = S

3. Sifat Komutatif
● A∩B = B∩A
● A∪B = B∪A

4. Sifat Asosiatif
● A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
● A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

5. Sifat Distributif
● A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
● A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

Usai menyimak pemaparan diatas, kini kamu makin mahir menguasai Matematika seputar rumus himpunan dan diagram venn.

Oiya, Minco alias Mimin KOCO juga mau kasih bocoran, nih kalau KOCO Star juga menyediakan media pembelajaran jika kamu masih butuh penjelasan yang lebih lengkap lagi. Langsung klik gambar banner ini, ya!

Dapatkan juga akses ke ribuan materi atau video belajar Matematika, IPA, IPS, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, serta bantuan langsung dari para guru secara live online dengan berlangganan KODIO Learning. “Don’t look back with regret, look forward with hope.”